第十八届中国数学奥林匹克试卷

• 资源名称：第十八届中国数学奥林匹克试卷
• 资源分类：国际奥林匹克
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• 更新时间：2010-5-14 15:54:00
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资源简介

第十八届中国数学奥林匹克试卷

一、 设点I、H分别为锐角三角形的内心和垂心，点B₁、C₁分别为边AC,AD的中点.已知射线B₁I交边AB于点B2（B₂≠B），射线C₁I交AC的延长线于C₂，B₂C₂与BC相交于K,A₁为△BHC的外心.试证：A,I,A₁三点共线的充分必要条件是△BKB₂△CKC₂的面积相等.
二、 求出同时满足如下条件的集合S的元素个数的最大值：
（1） S中的每个元素都是不超过100的正整数；
（2） 对于S中任意两个不同的元素a,b，都存在S中的元素c，使得a与c的最大公约数等于1，并且b与c的最大公约数也等于1；
（3） 对于S中任意两个不同的元素a,b，都存在S中异于a,b的元素d，使得a与d的最大公约数大于1，并且b与d 的最大公约数也大于1.

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